대학물리실험 - 직·병렬 및 휘트스톤 브리지에 의한 저항 측정

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I. 서론

<1> 실험 배경
 일상에서 사용하는 모든 전자기기는 자신의 기능을 수행하기 위한 회로를 가지고 있다. 수행하는 기능에 따라서 복잡한 정도는 달라지기는 하지만, 전부 물리학의 기본 법칙을 기반으로 만들어 낸 것이다. 옴의 법칙과 키르히호프 법칙은 복잡한 회로를 분석하는데 큰 도움을 준다. 이번 실험을 통해서 회로를 어떻게 분석하는지, 그것을 어떻게 응용하는지를 알아볼 필요가 있다.

<2> 실험 목적
저항기의 직렬 및 병렬 연결의 통해 옴 법칙과 키르히호프 법칙을 확인하는 것과, 휘트스톤 브리지를 이용해서 미지저항의 전기 저항 값을 정밀하게 측정해보는 것을 목표로 한다. 또한 실험 결과와 색 코드 표를 통해 확인한 저항값을 비교해서 색 코드 표의 사용법을 숙지한다. [1]

<3> 실험 이론
(1) 옴의 법칙
 옴은 금속 도선에서 전압, 전류를 측정하여 이들 사이에 선형의 비례관계가 있음을 알아내었다. 이와 같은 전류와 전압의 직선적인 비례관계를 옴 법칙이라고 한다. 이번 실험에서는 금속 도선을 이용하므로 옴 법칙을 적용하는데 별 무리가 없다.(부도체를 이용한 실험일 경우 주의한다.) 사람들에게 일반화 되어있는 옴의 법칙은 다음과 같다 :

ΔV=IR or I=ΔVR

R 은 전위차를 측정한 두 지점 사이의 저항을 의미한다. 저항이란 전류의 흐름을 방해하는 요소이며, R= ΔV/I 이므로 단위는 볼트 / 암페어, 혹은 옴이라고 한다.
 등가 저항(전체 회로의 저항)은 개별 저항에 대해, 다음과 같이 계산할 수 있다.

직렬회로의 경우 : Rs=R1+R2+R3+… 병렬회로의 경우: 1Rs=1R1+1R2+1R3+…

(2) 키르히호프 법칙
 옴의 법칙은 위와 같이 간단한 회로에 간단한 수식을 이용해 회로를 분석할 수 있다는 이점이 있다. 반대로 말하면 복잡한 회로는 분석하기 어렵다는 이야기이기도 하다. 이런 상황에서 이용할 수 있는 것이 키르히호프 법칙이다.

1)     분기점 법칙(Junction rule) : 모든 분기점에서 전류의 합은 0이다.

junctionI=0

2)     고리 법칙(Loop rule) : 모든 닫힌 회로에서 각 소자를 지나갈 때 전위차의 합은 0이다.

closed loopΔV=0

 각각의 법칙을 계산할 때 1법칙의 경우 분기점에 들어오는 전류를 +, 나가는 전류를 –로 놓고 계산한다. 이 법칙은 이후 휘트스톤 브리지에서 쓰인다. 2법칙의 경우 닫힌 회로를 하나 선정하고 방향을 1개 임의로 선정한 다음, 그게 저항인지 전지인지에 따라 어떤 전위차를 주는지 생각해서 더하면 된다. [2]

(3) 도체의 저항
 도체의 저항은 일반적으로 도선의 길이 l  에 비례하고 도선의 단면적 A  에 반비례한다. 이를 도선의 재질이 가진 자체 저항인 비저항 ρ  을 통해서 실제 저항을 나타내면 다음과 같다.

R=ρlA

이는 휘트스톤 브리지에서 단순히 도선의 길이 l 의 비로 저항의 비를 나타낼 수 있는 이유이다. [3]

(4) 휘트스톤 브리지
 이번 실험의 준비물 중 하나인 휘스스톤 브리지는 미지 저항 Rx 를 구하는데 이용할 수 있다.

 

여기서 검류계 VG 에서 전류가 감지되지 않는다면, 각각 adb, dcb에 대해서 키르히호프 제 2법칙을 적용할 수 있다. A -> D -> C로 흐르는 전류를 I1 , A -> B -> C로 흐르는 전류를 I2 라고 하자. 그럼 다음이 성립한다.

I1R1-I2Rv=0  I1R2-I2Rx=0

이것을 Rx 에 대해서 정리하면,

Rx= RvR2R1

R1, R2 이 같은 습동형 저항계에서 비롯되므로 각 저항을 이루는 비저항(ρ ), 단면적(A )이 같다. 각 저항의 길이에 대해서 실험 이론 (3)을 적용시키면,

Rx= RvR2R1=Rvρl2/Aρl1/A=Rvl2l1

이다. 이러한 방식으로 미지 저항의 값을 정확하게 구할 수 있다. [4]

(5) 색코드 저항값 읽는 법
 저항은 전자부품 중에서도 제일 많이 쓰이는 부품 중 하나이다. 보통 회로를 보호하는 목적으로 쓰이는데 이 때 저항값이 너무 작거나 크다면 곤란할 것이다. 때문에 시중에 있는 대부분의 저항에는 4~5줄의 색띠가 있으며, 그것으로 저항값을 알 수 있다. 색에 따른 코드표는 다음과 같다:

<그림 1, 저항 색깔 코드표, 출처 : https://www.digikey.kr>

이러한 색깔 코드표를 외우는 것은 전문가가 아니면 귀찮고 어려울 수 있기 때문에, 별도로 만들어진 웹사이트에 있는 계산기를 이용해서 저항값을 계산할 수 있다. [5]

II. 본론

<1> 실험 방법

1. 준비물
전기 저항 측정 장치, 직류 전압계, 전원 장치, 전선, 휘트스톤 브리지, 검류계, 미지 저항 세트, 기지 저항 세트, 저항선 & 검침봉(습동선형 저항계)

2. 실험 과정
 실험 1. 직렬 회로
 (1) 직렬 회로 장치의 제일 왼쪽 부분에 전원 장치를 연결한다.
 (2) 직류 전압계를 직렬 회로 장치의 전원 부분의 바로 옆에 설치한다. (전압계는 15V에 연결)
 (3) 저항 R4 와 R5 를 선택하여 R4,  R5,  R8 로 구성된 직렬 회로가 되도록 한다. (스위치를 알맞게 조절하도록 한다.)
 (4) 전원 장치의 전원을 켜고 전압을 약 4V로 맞춘 뒤, 회로에 걸린 전체 전압 εA 와 직렬 회로의 전류계가 가리키는 전류 IS 를 읽고 표 1에 기록한다.
 (5) 측정한 εA 와 IS 의 값을 이용하여 Rs 값을 계산하고 표 1에 기록한다.
 (6) 직류 전압계를 이용하여 R4, R5,  R8 에 걸린 전압을 차례로 읽은 뒤, 표 1에 기록한다.
 (7) 측정한 값들을 이용해 R4, R5,  R8 의 저항을 계산하고 표 1에 기록한다. (옴의 법칙과 키르히호프 법칙 이용)
 (8) 저항 색코드를 참고하여 R4, R5,  R8 의 값을 읽은 후, 표 1에 기록한다.
 (9) 실험 과정 (6)을 통해 계산한 저항 값을 참값으로 하여, 측정한 저항 값과의 상대 오차를 기록한다.
 (10) 전원을 6V로 바꾼 뒤, 과정 (4) ~ (9)를 반복하여 표 1을 완성한다.

 실험 2. 병렬 회로
 (1) 병렬 회로 장치의 제일 왼쪽 부분에 전원 장치를 연결한다.
 (2) 직류 전압계를 병렬 회로 장치의 전원 부분의 바로 옆에 설치한다. (전압계는 15V에 연결)
 (3) 금속 연결 막대를 이용해 저항 R1,  R2, R3  모두 병렬로 연결한다.
 (4) 전원 장치의 전원을 켜고 전압을 약 4V로 맞춘 뒤, 회로에 걸린 전체 전압 εB 와 직렬 회로의 전류계가 가리키는 전류 Ip 를 읽고 표 2에 기록한다.
 (5) 측정한 εB 와 Ip 의 값을 이용하여 Rp 값을 계산하고 표 2에 기록한다.
 (6) 전원 장치를 끄고, R2, R3 에 연결된 금속 연결 막대를 제거한다.
 (7) 전원 장치의 전원을 다시 켜고 전압을 4V로 맞춘 뒤, 이때의 전류계가 가리키는 전류 I1 을 읽고 표 2에 기록한다.
 (8) R2, R3 에 대해서도 (6) ~ (7)을 반복해 I2, I3 를 측정한다.
 (9) 측정한 값들을 이용해 R1, R2,  R3 의 저항을 계산하고 표 2에 기록한다. (옴의 법칙과 키르히호프 법칙 이용)
 (10) 저항 색코드를 참고하여 R1, R2,  R3 의 값을 읽은 후, 표 2에 기록한다.
 (11) 실험 과정 (10)을 통해 계산한 저항 값을 참값으로 하여, 측정한 저항 값과의 상대 오차를 기록한다.
 (12) 전원을 6V로 바꾼 뒤, 과정 (4) ~ (11)를 반복하여 표 2을 완성한다.

 실험 3. 혼합 회로
 (1) 미지 저항 세트에서 6번 저항의 저항 색코드를 읽고 그 값을 기록한다.
 (2) 기지 저항 세트 장치에 있는 저항 다섯 개 중 기지 저항 1번을 선택한다. 기지 저항 값을 확인한 뒤, 표 3의 기지 저항 1번의 Rv 에 기록한다.
 (3) 전원을 전부 끈 상태에서 휘트스톤 브리지 회로를 완성한다. 이 때 필요한 전선은 모두 11개이다.
 (4) 전원 장치의 전원을 켜고 전압을 0.2V로 맞춘다.
 (5) 저항선 검침봉을 저항선 좌우로 움직이면서 검류계 바늘이 0이 되는 저항선 지점을 찾고, 이때의 l1와 l2 의 길이를 표 3의 기저 저항 1번에 기록한다.
 (6) 표 3하단의 식으로 측정값을 이용해 Rx,측정 값을 계산하고 기록한다.
 (7) 기지 저항 2, 3, 4, 5번에 대해서도 (2) ~ (6)을 반복한다.
 (8) 표 3하단의 식을 이용해서 (Rx,측정)avg 를 구하여 기록한다.
 (9) Rx 의 색코드 값을 참값으로 하여 (Rx,측정)avg 와의 상대 오차를 계산해 기록한다.

3. 주의 사항
 전류계는 전압계와 달리 내부 저항이 매우 작고 전류계에 큰 전류가 흐를 경우 파손될 가능성이 크다. 따라서 전원장치를 이용할 때 너무 많은 전류를 갑자기 보내지 않도록 주의하고, 사전에 전류를 예측해서 전원장치를 조절하도록 한다.

4. 데이터 처리
 0~40mA의 전류를 30˚의 각도로 나타내는 검류계의 경우 유효숫자를 2자리 이상 가지기 어렵다. 따라서 나중에 데이터를 계산할 때 대부분의 실험결과가 유효숫자가 2개로 나온다는 사실에 유의한다.

<2> 실험 결과

<Redacted>

<3> 토론
1. 예상되는 실제 실험 시의 오차 발생 요인
 (1) 전선에서의 저항이다. 작지만 전선의 길이가 길어질수록 영향을 많이 받게 되므로 너무 긴 전선을 쓰지 않는 것이 좋다.
 (2) 전압계와 검류계로 인해 발생한 미세한 오차이다. 내부 저항에 따라 달라지기는 하지만 이 장비들은 회로에 연결했을 때 크게 1~2% 정도의 상대오차를 일으킬 수 있다. 특히 이번에 이용된 전압계가 10~100kΩ의 내부 저항을 가졌다면 오차가 더 커질 것이다. [6]

2. 이번 실험의 핵심 결과 및 분석
 (1) 이번 실험 전체 과정 중에서 제일 중요한 것은 습동선형 휘트스톤 브리지의 길이 비를 이용해서 저항의 비를 간단히 조작해보는 것이다. 저항은 직선 도선에서 길이에 비례하는데, 이와 비슷한 회로가 있다면 간단히 길이만 가지고 저항을 구할 수도 있을 것이다.
 (2) 이번 실험의 첫 번째 중요한 핵심 요소는 간단한 회로에서 옴의 법칙이 성립하는 것을 보고 오차가 주로 어떤 방향으로 발생하는지를 지켜보는 것이다. 상대오차를 계산하면서 알게 된 사실은 직렬연결에서의 실험값은 이론값에 비해 작은 경우가 많고, 병렬연결에서의 실험값은 이론값에 비해 큰 경우가 많다는 것이다. 도선의 저항을 생각해 보면 이는 자연스러운 결과이다.
 (3) 이번 실험의 두 번째 중요한 핵심 요소는 휘트스톤 브리지를 이용해서 미지 저항의 값을 알아낼 수 있는 이유와 그 저항값을 알아낼 때 이용되는 키르히호프의 법칙을 이해하는 것이다. 저항을 알아내는 데 필요한 핵심적인 공식은 검류계가 연결된 두 개의 분기점에서 얻어낼 수 있다.
 (4) 이번 실험이 실생활에 이용될 방안은 휘트스톤 브리지를 이용해서 미지 저항을 측정하는 작업을 자동화 할 수 있다는 점에 착안해서 저항계를 만드는 것이다. 아쉬운 점은 저항은 단순히 일정한 전류를 흘려보내 나오는 전압을 측정하는 것만으로도 쉽게 측정할 수 있기 때문에 휘트스톤 브리지를 이용한 방식은 비효율적이다. [7] 멀티 미터에도 저항계가 내장되어 있는데, 본 실험과 같은 방식으로 측정하는 경우는 찾기 어렵다.

III. 결론

 이번 실험을 통해서 기본적인, 그리고 조금 복잡한 회로를 어떻게 분석할 수 있는지를 학습할 수 있었다. 옴의 법칙은 꽤 익숙한 법칙일 수 있지만, 키르히호프 법칙은 친숙하지 않을 수 있다. 그런데도 옴의 법칙보다도 더 유용하게 쓰일 수 있는 아주 중요한 법칙이고 회로를 분석하는 강력한 도구임을 알 수 있었다.

IV. 참고문헌

[1] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, pp. 293-300

[2] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 662-669

[3] Electrical Resistance and Conductance https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistance_and_conductance (accessed Oct, 02, 2021)

[4] Wheatstone Bridge, https://en.wikipedia.org/wiki/Wheatstone_bridge (accessed Oct, 02, 2021)

[5] 4밴드 저항기 색상 코드 계산기, https://www.digikey.kr/ko/resources/conversion-calculators/conversion-calculator-resistor-color-code (accessed Oct, 02, 2021)

[6] Why does the conversion of a galvanometer to a voltmeter have different experimental and theoretical values?, https://www.quora.com/Why-does-the-conversion-of-a-galvanometer-to-a-voltmeter-have-different-experimental-and-theoretical-values (accessed Oct, 02, 2021)

[7] What are the advantages of using a Wheatstone bridge to measure the resistance when we can simply use an Ohmmeter?, https://www.quora.com/What-are-the-advantages-of-using-a-Wheatstone-bridge-to-measure-the-resistance-when-we-can-simply-use-an-Ohmmeter (accessed Oct, 02, 2021)