대학물리실험 - RC회로

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I. 실험 이론

 1. RC회로
RC회로란 Resistor와 Capacitor, 저항과 축전기가 연결된 회로를 말한다. RC회로의 특성을 알기 위해서 아래의 그림과 같은 제일 간단한 RC회로를 분석해보자.

<그림 1, 참고문헌 [1]과 같은 출처>
 스위치를 a에 놓은 상태로 키르히호프 법칙을 이 회로에 적용하면 ε-qC-iR=0  과 같은 식을 얻을 수 있다. 각각 기전력, 축전기에서의 전위차, 저항에서의 전위차를 나타낸다.

ε-qC-iR=0 → dqdt=εR-qRC=-q-CεRC → dqq-Cε=-1RCdt → lnqf-Cεqi-Cε=-tRC

마지막 식을 qf , 즉 q의 t에 관한 식으로 정리하면,

qt=(qi-Cε)e-t/RC+Cε  이다. 여기서 기전력은 초기 전압으로도 생각할 수 있다.

 1-1. 시간 상수
 위에서 살펴본 시간에 따른 전하량의 함수에 기초해 축전기 양단의 전위차, 전류의 식을 구할 수 있고, 그 모든 식은 e를 밑으로 하는 지수함수이다. 여기서 일정한 RC = τ라고 놓고 이를 회로의 시간 상수라고 한다.
 실험1에서는 사각파형으로 주어지는 전위차와 그에 따른 축전기의 충전과 방전을 관찰하고, 그 시간 상수를 실험적으로 알아볼 것이다. 이용할 등가 회로와 그에 주어지는 사각파형 전위차는 다음과 같다 :

<그림 2, 3, 참고문헌 [2]와 같은 출처>
 일반적으로 V1 과 V2 는 크기가 같고 부호가 반대이거나 또는 둘 중 하나가 0이다. (회로도의 구성을 보고 둘 다 0이상으로 생각할 수 있으나 꼭 그렇지는 않다.) 스위치가 t0 동안은 V1 , 그 다음 t0 동안은 V2 에 연결 되어 사각파를 형성한다. 함수 발생기에서 발생하는 전압이 V1 , V2  사이에서 교대로 바뀌면, 축전기에선 충전 및 방전이 계속 반복되면서 양단의 전위차가 지수적으로 증가했다가 감소하는 모습을 볼 수 있다. 시간 상수를 측정하기 위해서 최저 전압에서 최대 전압의 1/2이 될 때까지의 시간을 t1/2 을 측정한다. t1/2 에 대해서 τ= t1/2ln2 가 성립한다. 여기서 Vf 와 V0 가 어느 값이든 그 평균값에 도달 할 때까지의 시간을 알 수 있으면 시간 상수를 구할 수 있으며, 다만 계산 과정의 편의상 방전에서는 주로 Vf=0 , 충전에서는 V0=0 로 이용하거나 크기가 같고 부호가 다른 두 전위를 이용한다. (앞에서 V1 과 V2 를 그렇게 결정하는 이유와 같다.)[1]

 2. 위상차
 앞의 실험에서는 전위를 사각파형으로 변화시켰다면, 여기서는 사인형으로 변화시켜 보자. 앞과 다르게 각진동수 ω=2πf 인 사인형으로 변한다고 하면 순간 전압은

∆vt=ImaxZsinωt=∆Vmaxsinωt
로 생각할 수 있다. 회로에 흐르는 전류는 전하량의 함수를 시간에 대해서 미분한 것이므로 기존의 전압의 함수와는 위상차가 존재함을 알 수 있다. 위상차를 φ로 표기하면 전류는

it=Imaxsin(ωt-φ)

이다. 다만 저항기에서는 전압과 전류가 위상이 같은데, 이 현상을 이용해서 위상차를 알아낸다.

∆vR=ImaxRsin(ωt-φ)=∆VRsin(ωt-φ)

인가 전압 및 전류의 관계를 나타내면(위상차) 다음과 같다.

<그림 4, 참고문헌 [2]와 같은 출처>

여기서 ∆VR=ImaxR 이고 ∆Vmax=ImaxZ 이다. 회로의 임피던스 Z=R2+(1ωC)2 이므로 φ 에 대해서 정리하면

φ=-tan-1(1ωRC)

이다. 여기서 위상차는 음수이고 전류가 인가 전압보다 앞선다는 것을 알 수 있다. 1ωC 과 R의 값의 비에 따라서 위상차가 달라지게 되는데, 1:1인 경우 φ=45˚  이며, R≫1ωC 인 경우 φ=0˚ 에 가까워 지고 저항기 만의 회로에 근접하게 되고, 반대의 경우 φ=90˚ 로 축전기 만의 회로에 근접하게 된다.

 3. 고진동수 통과 여과기

 이 RC회로는 고진동수의 출력 전압만을 남겨두는 회로로써 이용할 수 있다. 앞의 위상차 도표에서 위상차를 신경 쓰지 않고 단순히 ∆VR=ImaxR 과 ∆Vmax=ImaxZ 의 비를 생각해보자. R=Z에 가까우면 ∆VR=∆Vmax 에 가까워지므로 전압이 크게 줄지 않는다.  Z=R2+(1ωC)2 이므로 1ωC  = 0에 가까워야 하는데, C를 조절하기는 어려우므로 각진동수 ω를 크게 하여 이를 이루어 낼 수 있다. 반대로 각진동수 ω가 작다면 ∆VR 은 ∆Vmax 에 비해 작아지므로 작은 진동수의 전압을 걸러낼 수 있다.

II. 실험 결과

<Redacted>

III. 토의

 앞의 이론에서 RC회로를 분석할 때 이용한 식을 여기에 적용할 수 있다. 앞서 살펴본 시간에 따른 전하량의 식을 축전기의 전기용량 C로 나누어 다음과 같은 식을 얻는다 :

qt=Qf+Q0-Qfe-tRC→ ∆vt=Vf+(V0-Vf)e-t/RC

 여기서 축전기에 걸리는 최대 전압의 반이 될 때까지의 시간 t1/2 에 대해서 함숫값은 Vf+V0-Vf/2 이다. (두 전위 사이의 평균값이므로 V0+Vf/2 를 변형함) 이를 대입하면,

∆vt1/2=Vf+(V0-Vf)e-t1/2/RC=Vf+V0-Vf/2

즉, e-t1/2/RC=1/2 이다. 이를 RC = τ에 대해서 정리하면 τ= t1/2ln2 이다.

IV. 결론

 이번 실험은 실험결과와 이론을 이해하는 것이 다른 실험에 비해서 상당히 난해했다. 하지만 비교적 쉽게 이해할 수 있던 실험이 시간 상수 결정 실험이었다. 이론적으로 충전 전압에 도달하기 위해서는 무한대의 시간이 필요하기 때문에 축전기를 충전할 때 충전 전압의 절반의 시간값을 이용한다는 것을 알 수 있었다. 두번째 실험은 위상차, 정확히는 전류와 전압 사이의 위상차에 대해서 실험하였다. 축전기에 한정해 전압의 함수와 전하량의 함수를 선형적으로 같은 함수로 생각할 수 있었는데, 전류는 전하량의 함수의 미분으로 나타난다는 점에서 이런 위상차가 어디서 비롯되는지를 생각해 볼 수 있었다.

V. 참고문헌

[1] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 672~677

[2] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, pp. 317~324