대학물리실험 - 자기장(암페어의 법칙과 비오-사바르 법칙)

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I. 서론

<1> 실험 배경
 앙페르 법칙과 비오-사바르 법칙은 전류와 자기장 사이의 관계를 밀접하게 묘사하는 법칙이라는 점에서 공통점이 있다. 쓰이는 곳과 상황은 다르지만, 전류에 관한 정보로 자기장의 크기나 방향 등을 끌어낼 수 있다. 물리학에서 기본적으로 쓰이는 맥스웰 방정식 중 하나로서(엄밀히 비오-사바르 법칙은 하나로 분류되지는 않지만), 전기를, 특히 로런츠 힘을 다루고자 할 때 이를 고려하지 않을 수는 없을 것이다. 따라서 실험을 통해 두 법칙이 어떻게 현실에서 나타나는지를 살펴보고자 한다.

<2> 실험 목적
 직선 도선, 원형 도선 및 솔레노이드에 전류가 흐를 때 생성되는 자기장을 측정하여 자기장 분포를 실험적으로 확인 하면, 암페어 법칙 및 비오-사바르 법칙이 성립하는 가를 확인하고자 한다.

<3> 실험 이론
 1. 앙페르 법칙, 비오-사바르 법칙

 앙페르의 법칙은 어떤 도선을 자르지 않고도 나오는 자기장만으로 전류를 측정할 수 있게 해주는 유용한 법칙이고, 비오-사바르 법칙은 어떤 점에서 전하 운반자가 움직이는 어떤 상황에서든 그 거리와 벡터, 그리고 도선의 형태를 알 수 있다면 그 자기장을 정량적으로 구할 수 있다는 점에서 의의가 있다. 같은 문제를 해결하고자 서로 다른 방법을 이용할 수 있다는 말이기도 하다.
 앙페르의 법칙은 (μ0 는 진공의 투자율, 4π * 10^(-7) (T * m / A))

B∙ds=μ0I

와 같이 어떤 닫힌 고리에 대한 선적분으로 이루어진다. 이는 별다른 변위 전류가 없을 때 언제나 이용할 수 있는 식이며, 이번 실험에서 이 방정식의 확장형을 다룰 필요는 없다. [1]
 비오 사바르의 법칙에 의해 어떤 자기 벡터 요소 dB 와 길이 요소 ds , 그 거리 r 에 대해,

dB=μ0I4πds×rr2

다음의 수식이 성립한다. 이 식은 적분하여 전체 자기장을 구할 때 많이 쓰이는데, 특히 길이 요소와 자기 벡터 요소가 대칭성을 이루지 않더라도 그 값을 구체적으로 알 수 있을 때 쓰일 수 있다. [2]

 2. 직선 도선에서의 자기장

 직선 도선에서의 거리에 따른 자기장은 앙페르의 법칙으로 간단하게 구할 수 있다. 무한히 긴 직선 도선의 중심을 기준으로 이에 수직하고 반지름이 r 인 원을 기준으로 앙페르의 법칙을 적용하면, 간단히 B(2πr) = μ0I  가 성립함을 알 수 있고(원을 따라 선적분 길이는 2πr이며 이는 플레밍의 오른나사법칙으로 언제나 자기장과 같은 방향이다.)[3] 대칭성으로 인해 B는 회로와 같은 거리에서 같으므로

B(r)=μ0I2πr

가 성립한다.

 3. 원형 도선에서의 자기장

원형 도선에 수직이고 중심을 지나는 직선 위에서 거리에 따른 자기장은 비오-사바르 법칙을 이용해서 구할 수 있다.

<그림 출처: 참고 문헌 [4]와 같음.>

앞의 1번식을 위의 상황에 적용하면, (변위 요소와 거리 단위 벡터가 수직이므로)
dB=μ0Idssin90˚4πr2=μ0Ids4πr2

로 스칼라화해서 쉽게 적분할 수 있다. 다만 dBy , 직선에 수직인 성분은 적분하면 도선의 대칭성으로 인해 사라질 것임을 직관적으로 알 수 있다. 따라서 dBx 를 따로 모아서 적분하면

B=dBx=dBsinθ=02πRμ0Ids4πr2sinθ=02πRμ0IR4πr3ds=μ0IR4πr302πRds=μ0IR22r3=μ0IR22(R2+x2)3/2

이렇게 나타낼 수 있다. ds 에 따라 달라지는 변수가 없기 때문에 쉽게 적분이 가능했다. 그림을 보고 계산과정에서 r, r , ds 가 각각 무슨 의미를 갖는지를 파악하는 것은 이 법칙을 이해하는데 큰 도움을 준다. [4]

 4. 솔레노이드에서의 자기장

솔레노이드는 앙페르 법칙과 비오-사바르 법칙을 둘 다 이용해서 자기장을 구할 수 있다. 이상적인, 매우 길이가 긴 솔레노이드의 경우 앙페르의 법칙을 이용할 수 있다. 그림의 경로 2에 대해서 앙페르 법칙을 적용하면 1에 대해서만 적분을 하면 되고, 솔레노이드는 대칭적이므로,

BL=μ0NI

가 간단하게 성립한다. 여기서 n=N/L 로 단위 길이당 감은 수를 나타내면

B=μ0nI

로 더 간단하게 나타낼 수 있다. 하지만, 현실적으로 그런 솔레노이드는 없으며 그와 비슷한 실험 조건을 마련하는 것도 어려우므로 비오-사바르 법칙을 이용해서 자기장 식을 보정해 주어야한다. 다만 그 작업은 상당히 어려우므로 생략하고, 결과만을 적으면 다음과 같다 :

Bx=12μ0nI(cosθ1+cosθ2)=12μ0nI(l2-xR2+l2-x2+l2+xR2+l2+x2)

여기서 l→∞ 로 이상적인 솔레노이드와 가까이하면 위의 식과 같아지므로 잘 유도된 식임을 확인할 수 있다. 단, 솔레노이드 내부의 자기장만을 계산하기 때문에(외부 자기장은 이상적일 경우 0) 식을 적용하는데 주의가 필요하다. [5]

<그림 출처 : 참고문헌 [5]와 같음.>

II. 본론

<1> 실험 방법

1. 준비물
 디지털 테슬라 미터(테슬라 메타), 접선 방향 probe, 직선 도선, 솔레노이드, 원형 도선, 축 방향 probe, 전원 공급기, 버니어 캘리퍼

2. 실험 과정
실험 목적에 맞게 실험 이론을 활용하기 위해서 자기장을 측정하는 테슬라 미터, 그리고 자기장을 발생시키는 다양한 모양의 도선(직선, 원형, 솔레노이드) 등을 준비한다. 버니어 캘리퍼는 이 도선들의 물리적인 길이를 측정해서 다른 변수들을 정량적으로 알아내는 역할을 맡는다.

 기본적으로 테슬라 미터를 통해서 도선의 자기장을 측정하고, 그 상황에서 변수 1개를(주로 거리, 위치, 전류 등) 변화 시켜 새로운 자기장 값을 측정하는 식으로 실험을 진행한다. 독립변수를 직선 도선에서는 도선에서의 거리, 원형 도선에서는 도선 중심에서 떨어진 거리, 솔레노이드에서는 위치, 전류로 놓고 종속변수를 자기장으로 놓는다. 그 후 이 두 변수가 선형적으로 비례한다는 것을 이용해 진공의 투자율을 다시 계산한다. 실험값으로 나온 진공의 투자율이 이론값과 비슷하다면 이론이 맞는다는 결론을 내릴 수 있다.

3. 주의 사항
 자기장 측정 시 길이 보정이 필요하다. 접선 방향 프로브를 도선에 닿게 해도 실제 센서 거리와는 0.40cm 차이가 나기 때문에(실험 1 참조) 0.40cm부터 측정을 시작한다. 이 값은 부정확할 수도 있다. 따라서 상대오차가 많이 난다면 이 거리에서의 측정값은 제외하고 분석해도 좋다.

4. 데이터 처리
 테슬라 미터가 감지하는 자기장의 크기를 소수점 3자리까지 읽는다.

<2> 실험 결과

<Redacted>

<3> 토론
1. 예상되는 실제 실험 시의 오차 발생 요인
 (1) 지구의 자기장이다. 항상 존재하기 때문에 테슬라 미터에 영향을 미칠 수 밖에 없다.
 (2) 도선의 모양이 이상적이지 않은 것이다. 도선의 모양이 이상적인 직선 / 원 / 솔레노이드 모양은 아니고, 따라서 발생하는 자기장의 모양이나 크기가 다르다.

2. 이번 실험의 핵심 결과 및 분석
 앞서 이론에서 각 도선의 모양에 따라 생기는 자기장을 어떻게 정량적으로 계산하는지 살펴보았다. 자기장을 계산하는 모든 식에 상수 μ0 가 존재했고, 나머지 변수들로 μ0 가 기울기인 그래프가 그려지는지를 확인하면 이론이 맞는지를 확인할 수 있다. 그것을 위해 각 도선의 자기장에 대한 정보와 함께 단위 길이당 전류에 대한 정보를 같이 모았다. 실험1에서는, B2πrI  실험2에서는, B2(R2+x2)3/2IR2 , 실험 3은 B/(수식1, 결과 참조)로 μ0 를 계산할 수 있었고, 이는 두 변수 간의 그래프에서 기울기로 나타났다. 어떤 자기장 식은 비오-사바르 법칙으로, 어떤 식은 앙페르 법칙으로 유도되었지만 둘 다 현실에서 실용적으로 이용할 수 있을 만큼 정확한 식들이었다는 결론을 얻을 수 있었다.
 μ0 (진공의 투자율)는 대부분 오차 없이 측정되었으며 제일 큰 오차를 보였던 실험4도 솔레노이드의 길이가 한정되어 있다는 현실적인 문제로 인해 일어난 것으로 보인다. 데이터들을 처리할 때 mT, cm 등으로 SI 단위계가 아니라서 주의해야 할 부분이 있었지만, 제대로 처리했다면 주로 1.1~1.3^10-6의 값으로 종속변수와 독립변수의 비, 기울기가 나타났다.
 이 실험에서는 앙페르의 수정되지 않은 법칙을 이용했지만, 변위 전류를 이용해서는 도선에서 실험했을 때도 같은 결론을 얻을 수 있는지 실험해 보아 맥스웰 방정식에 대한 이해를 더욱 높일 수 있다고 생각했다.

III. 결론

 전류와 자기장 사이의 관계를 알아보고자 도선의 모양별로 어떻게 자기장이 만들어지는지를 정량적으로 측정했다. 각각 직선, 원형, 솔레노이드 모양의 도선이었으며, 쉽게 바꿀 수 있는 변수를 택해 조절하는 식으로 실험한 결과, 변수와 자기장의 세기 사이의 관계가 선형적임을 알 수 있었다. 여기서 우리는 이론이 맞는지를 알아보기 위해서 이론적인 진공의 투자율과 실제 투자율이 같은지를 중점적으로 살펴보았으며, 이가 맞음을 계산을 통해 확인했다. 따라서 앙페르의 법칙과 비오-사바르 법칙은 유용하며 도선이 발생시키는 자기장을 구할 때 쓰면 된다는 결론을 얻었다.

IV.  참고문헌

[1] 맥스웰 방정식, <전자기장의 역학이론> 문단 중 앙페르 회로 법칙 참고,  https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A7%A5%EC%8A%A4%EC%9B%B0_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D (accessed in 2021-11-02, 23:46)

[2] Biot-Savart Law, http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/Biosav.html (accessed in 2021-11-02, 23:14)

[3] Right-hand rule, https://en.wikipedia.org/wiki/Right-hand_rule (accessed in 2021-11-03, 00:02)

[4] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, pp. 384-390

[5] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 722-724