대학물리실험 - 초점 거리 측정 (얇은 렌즈)

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I. 실험 이론

1. 렌즈의 초점거리, 물체와 상과의 관계 (볼록 렌즈)

 렌즈는 기본적으로 초점 거리라는 것을 가지고 있다. 이는 평행축 광선이 입사할 때 그 광선들이 모이는 초점과 렌즈 중앙 사이의 거리이다. “거리”라고 표현 되었으나 실제로는 음수의 값을 가질 수도 있는데, 수렴 렌즈가 아닌 발산 렌즈의 경우 실제로는 모이지 않는 가상의 허초점을 이용해서 측정하기 때문이기도 하며, 그렇게 계산하는 것이 실제 수학적인 의미가 있기 때문이기도 하다.

 이와 물체 사이의 거리 p, 상이 맺히는 거리 q를 이용해서 렌즈의 초점거리를 계산하는 등 렌즈와 관련된 5가지 방법이 있다. 이를 유도하기 위해서 얇은 렌즈 방정식을 소개한다. 얇은 렌즈 방정식은 :

1f=1p+1q

으로, 이를 이용해서 다양한 방정식을 이끌어 낼 수 있다. 여기서 p→∞, 혹은 q→∞ 를 할 수 있다면 단순히 fp→∞=q, fq→∞=p 로도 측정 가능함을 생각할 수 있다. 1/f 가 아닌 f 에 대해서 정리하면 :

f=pqp+q

이게 제일 기본적인 식이고 사실 제일 많이 쓸 식이다. 여기서 다양한 식을 조합할 수 있는데, 제일 간단히 변형할 수 있는 것은 D=p+q,  d=p-q 로 놓으면

f=pqD=D2-d24D

이러한 식을 얻어 낼 수 있다. [1] 다만 렌즈의 대칭성, 정확히는 상과 물체를 바꾸어 생각해도 된다는 특징 덕에 일정 D에 대해서 가능한 p, q는 최대 2개가 존재하는데, 이는 어느 한 (p, q) = (a, b) 에 대해 나머지 하나는 (p, q) = (b, a) 이다. 따라서 우리가 특정할 나머지 p’ = q, q’ = p 이기 때문에,  d=q'-q 로도 측정 가능하다.

어째서 일정 D에 대해서 가능한 p, q는 최대 2개인지를 생각하기 위해서는 D와 q를 연립시켜 얻을 수 있다. 실질적으로 D=p+q 이므로 두 식을 연립할 수 있다.

p=fqD, p=D-q, fqD=D-q, q2-Dq+Df=0

로 놓고 근의 공식을 적용하면

q=D±D2-4Df2

인데, D=p+q 임을 고려하면, 사실 각 p,  q 가 하나의 근임을 알 수 있다. 따라서 D, f를 이용해서

역으로 상의 거리를 알아내는 것도 가능하다.

2. 배율, 상의 크기와 렌즈와 상 / 물체 사이의 거리의 관계

 렌즈에서 상의 크기, 물체의 크기의 비율을 렌즈의 배율이라 하고 기호 m으로 나타낸다. 다만 근사적으로 p, q도 이러한 비율을 보이는데, 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

m=h'h=-qp

여기서 qp 앞에 –가 붙은 이유는 볼록 렌즈의 도립 실상을 이용해서 배율을 측정하면 음수 이기 때문이다. [2]

3. 오목렌즈

 오목렌즈는 볼록 렌즈와 달리 물체의 상이 만들어 지지 않기 때문에 볼록렌즈를 이용해서 간접적으로 측정한다. 평행광 대신에 이미 모아지고 있던 빛을 이용하면 빛이 퍼져 원래 상보다 뒤쪽에 상이 위치하기는 하지만 상이 생긴다. 원래의 상을 허물체, 이후의 상을 실상으로 이용하면 측정이 가능하다.

II. 실험 결과

<Redacted>

 

III. 토의

 첫번째 실험의 초점거리 f 는 일반적인 오차를 가지고 측정이 되었는데, 얆은 렌즈 방정식 만큼 얇은 렌즈는 실질적으로 없기 때문에 어느 정도 감안 가능하다. D 와 p 를 측정하면 자동적으로 q 를 측정할 수 있으므로 앞의 식 중 제일 간단한 버전인 f=pqD 로 측정할 수 있다. 여기서 f 를 f(확대)=pqD , f(축소)=p'q'D 로 구하면 각각의 측정 데이터를 기반으로 한 초점거리를 구할 수 있다. 각각 19.62cm = 26.80cm * 73.20cm / 100.00cm, 19.66cm = 73.10cm * 26.90cm / 100.00cm로 알아낼 수 있다.

 실험 책에서는 하나 더의 방법으로 이를 측정하는데, 그 둘 모두에 데이터에 기반하는 D (상수)와 d=q'-q 를 이용해서 D2-d24D 로 측정하는 것이다. 위의 실험 결과에 기재하지는 않았으나 여기에 계산을 해보면 d=  26.90cm - 73.20cm = -46.30cm,  f  = (10000cm^2 – 2144cm^2) / (400.0cm) = 19.64cm로, 비슷한 결과를 내었음을 알 수 있다.

IV. 결론

 실험을 통해서 볼록 렌즈의 초점거리를 측정하고, 오목렌즈도 비슷하게 측정할 수 있는 물리량이 존재함을 확인하였으며 측정하는데 다양한 방법이 있다는 사실을 알 수 있었다. 얇은 렌즈 방정식을 이용한 다양한 초점 거리 측정 방식이 맞았다는 사실 또한 입증 할 수 있었다.

V. 참고문헌

[1] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, pp. 430-431

[2] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 869-874