대학물리실험 - RLC회로

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I. 실험 이론

 1. RLC회로
1. 인덕터
 인덕터는 기본적으로 “전류의 변화”를 방해하는 회로 요소이다. (저항과는 다르게 “전류”를 방해하는게 아니다. 헷갈리지 않도록 주의.) 전류의 변화가 방해되는 이유는 패러데이의 법칙을 통해 생각할 수 있다. 전류가 변화하면 전기장이 변하고, 전기장이 변하면 자기장이 변한다. 그에 따라 변한 자기선속은 기존의 전기장이 변화를 멈추는 방향으로 기전력을 생성한다. 이를 역기전력이라 한다. 역기전력은 일반적으로 전류의 변화가 있는 어느 곳에서나 발생하며, 따라서 현실적인 모든 경우에 대해서 회로 요소는 유도 계수(인덕턴스)를 갖는다. 다만 대부분의 경우  유도 계수는 솔레노이드 같은 구조로 일부러 유도 계수를 높이지 않으면 무시할 수 있을 정도로 작기 때문에 “인덕터”가 있다고 별도로 이야기 하지 않는 이상 유도 계수는 0으로 간주 한다.

 회로에 유도 계수가 존재하면 그만큼의 역기전력(키르히호프 법칙에서 전위차로 생각할 수 있음.) 이 생긴다. 이를 L 을 유도 계수라고 하고 εL 를 역기전력이라 하면 전류 i 에 대해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

εL=-Ldidt

 직렬 교류 회로 전원에 인덕터만 연결하고 키르히호프의 고리 법칙을 이용해서 순간 전류에 대한 정보를 얻을 수 있다.

∆v-Ldidt=0,  ∆v=∆Vmaxsinωtdt

여기서 didt 에 대해 정리하고 적분을 하게 되면,

didt=∆VmaxLsinωtdt,  i=-∆VmaxωLcosωt=∆VmaxωLsin(ωt-π2)

위의 식에서 cos앞의 –부호에 주목하면서 계산한다. 결론은, 원래의 ∆v 에 대해서 -π2  만큼 언제나 차이가 나기 때문에 90˚의 위상차가 난다. 이는 나중에 임피던스를 알아내는데 중요하다. 또 하나 중요한 사실은 sin함수의 계수에 있는데, ∆Vmax 를 나누는 분모, ωL 을 유도 리액턴스라고 하며, 기호 XL 로 나타낸다.(유도 계수 -> 유도 리액턴스로 외우면 편리하다.) 아래를 보면 XL 이 기존 저항의 R 과 비슷한 역할을 하고 있음을 알 수 있다. 더 중요한 것은 유도 리액턴스는 sin함수의 각진동수에 영향을 받는다는 것인데, 추후 RLC회로의 공명 진동수에 대한 이론에서 다시 볼 것이다. [1]

Imax=∆VmaxωL=∆VmaxXL,  XL=ωL

2. 축전기(커패시터)
 축전기는 전하를 저장하는 회로 요소이다. 가장 간단한 축전기로는 평행판 축전기가 있고, 두 개의 도체를 떨어뜨려놓고 하나의 판이 대전되면 그것과 다른 판이 반대 전하로 대전되도록 한다. 이때 두 도체 사이에 전기장이 생기므로 전위차 ∆V 도 생기는데, 이는 도체에 저장된 전하량 q 에 비례한다. 축전기에 따라서 달라지는 이 둘 사이의 비례상수를 전기 용량이라고 한다. 따라서 정의에 의해, 전기 용량 C 에 대해서

C≡q∆V,  ∆V=qC

가 성립한다. 인덕터와 저항 같지 않게 전위차가 오직 전하량에만 바뀌기 때문에 같이 분석할 때 어려울 수 있겠다고 생각할 수 있지만 i=dqdt 이므로 미분방정식으로 풀어낼 수 있다.

 이제 인덕터와 비슷하게 직렬 교류 전원에 축전기만 연결했다고 생각하고 키르히호프 법칙을 이용해서 순간 전류를 분석한다.

∆v-qC=0,  q=C∆Vmaxsinωtdt

여기서 t에 대해 미분을 하게 되면,

dqdt=i=ωC∆Vmaxcosωt=∆VmaxωLsin(ωt+π2)

마찬가지로 위의 식에서 cos앞의 +부호에 주목하면서 계산한다. 결론은 원래의 ∆v 에 대해서 +π2  만큼 언제나 차이가 나기 때문에 90˚의 위상차가 난다. 위의 인덕터와는 다르게 +이기 때문에 둘의 전류값은 서로를 상쇄한다는 사실을 알 수 있다. sin함수의 계수에서 ∆Vmax 를 나누는 분모, 1/ωC 을 용량 리액턴스라고 하며, 기호 XC 로 나타낸다.(전기 용량 -> 용량 리액턴스라고 외우면 편리하다.) 아래를 보면 XC 도 기존 저항의 R 과 비슷한 역할을 하고 있음을 알 수 있다. [2]

Imax=∆Vmax(1/ωC)=∆VmaxXC, XC=1ωC

3. 임피던스, 위상차, 공명 진동수
 임피던스는 RLC 회로 전체에 주어지는 전위차(이상적인 경우 기전력)에 대해서 옴의 법칙에 따라 선형적인 전류의 값을 계산할 수 있는 값이다. 위의 이론에서 살펴본 인덕터와 축전기의 전위차식, 리액턴스 값과 옴의 법칙을 이용한 저항의 전위차 V=IR 로 RLC직렬 회로를 분석해 볼 수 있다. 다행히, 직렬회로이기 때문에 키르히호프의 법칙의 분기점 법칙, 고리 법칙을 써서 비교적 쉽게 분석이 가능하다. RLC 직렬 교류 회로는 다음과 같다 :

<그림 출처 : 참고문헌 6에 기재>

여기서 위상각을 따져서 각각의 전위차를 더하면 다음과 같다 :

ΔVmax=(ΔVR)2+(ΔVL-ΔVC)2=(IR)2+(IXL-IXC)2=IR2+XL-XC2,(I=Imax)

ΔVL,ΔVC 는 서로 반대의 위상을 가지기 때문에 서로 빼고, 그것이 ΔVR 과는 90도로 수직이기 때문에 원점으로부터의 거리 공식(피타고라스 정리)를 이용해서 최대 전류를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Imax=ΔVmaxR2+(XL-XC)2

여기서 ∆Vmax 를 나누는 분모를 다음과 같이 나타내자 :

Ζ≡R2+(XL-XC)2

유도 / 용량 리액턴스와 저항의 역할을 전부 한번에 묶은 이 물리량을 회로의 임피던스라고 한다. RLC회로에서 전류가 흐르는 것을 방해하는 요소라고 생각하면 된다. 이 임피던스가 이루어진 모습을 보면 XL-XC=0 에서 전류가 최대값이 됨을 알 수 있다. 따라서 XL-XC=ωL-1ωC=0  이면 최대의 값이 된다는 건데, L, C 는 회로가 바뀌지 않는 한 상수 이기 때문에 실질적으로는 알맞은 각진동수에서 임피던스가 최소가 된다는 것을 알 수 있다. “이 알맞은 각진동수”를 L,C 에 대해서 나타내면 :

ω=1LC

이다. 이를 RLC회로의 공명 각진동수라고 한다. XL=XC 로 순수히 저항만 남게 하는 각진동수 값이라 보아도 무방하다. (공명 진동수 값은 단순히 2π만 나누면 되므로 생략)

 진동수가 어떻게 되느냐에 따라서 RLC 교류 회로의 성격도 달라지는데, 앞에서 살펴보았듯이 공명 진동수 에서는 R = Z 이기 때문에 순수 저항만의 회로가 되고, 0에 가까히 하면 교류가 아니라 직류 회로에 가까워지기 때문에 XC 가 커져 RC회로에 가까워지고, 무한히 크게 하면 XL 이 커져 RL회로에 가까워진다. XL>XC 인 회로를 유도성, XL<XC 인 회로는 용량성 회로라고 하는 이유는 이 때문이다. [3]

4. Bandwidth, 전력 그래프의 폭
 가로축을 진동수, 세로축을 전력으로 하는 그래프를 이번 실험에서 그릴 것이다. 이상적인 경우 그 그래프는 하나의 극대를 갖는 봉우리 모양의 그래프이다. 이 “봉우리”의 폭을 Bandwidth라고 한다.

<그림 출처: 참고문헌 4와 같음.>

BW=f2-f1,  1ω1C-ω1L=ω2L-1ω2C,  ω2-ω1L+1Cω2+ω1ω1ω2=2R

여기서 공명 각진동수 ω0 의 정의에 의해 C=1ω02L  그리고 ω1ω2=ω02 임을 위의 식에 대입하면,

ω2-ω12L=2R,  ω2-ω1=RL, BW=f2-f1=R2πL

즉, 저항에 비례하며 인덕턴스에 반비례한다. 이런 Bandwidth중에서도 최대 전력의 반을 기준으로 측정한 폭을 Full – Width at Half – Maximum, 줄여서 FWHM(반치전폭)이라고 한다. [4]

2. 회로에서 전력, 일률 사이의 관계
 닫힌 회로에서의 전력은 단위시간당 전달한 에너지 량과 같다. RLC회로에서도 마찬가지 인데, 흥미로운 것은 이 전력을 계산하기 위해서 RLC중 오직 저항 R에만 신경을 써도 괜찮다는 점이다. 좀 더 쉬운 말로 하면 인덕터와 커패시터에서는 전력을 소비하지 않는다. 커패시터는 전하량으로, 인덕터는 자기장으로 변환해서 에너지를 가지고 있을 뿐, 그 에너지를 다시 회로로 되돌릴 수 있기 때문이다. (Q22C, 12Li2 )

 따라서 계에서 에너지가 완전히 빠져나가는 것(혹은 내부 에너지로 전환된다고도 이야기함)은 오직 저항 뿐이며, 일률의 정의에 따라 차원 분석법으로 저항에서의 일률을 계산하면 :

Wt=F*st=q*E*st=q*Vt=VI

와 같이 전위차와 전류의 곱으로 나타낼 수 있다. 이를 우리의 회로에 적용해서 옴의 법칙을 이용하면 다른 변수로도 계산이 가능한데, 다음과 같다 :

Pavg=∆VR*Irms=I2rmsR=(∆VR)22R

[5]

 

 

II.  실험 결과

<Redacted>

 

 

III. 토의

 이번 실험은 RLC회로에 가하는 진동수에 따라서 최대 전력량과 전류가 어떻게 달라지는지를 살펴볼 수 있는 실험이다. 실험 1과 실험 2의 차이는 인덕턴스, 즉 유도 계수의 차이이다. 따라서 공명 진동수 f=12πLC  에서 L이 증가했으므로 줄어들 것으로 예측되었고, Pavg=(∆VR)22R 에서 변화된 변수는 없기에 평균 전력은 비슷할 것으로 예측되었다. 실제로 실험한 결과 공명 진동수는 예측대로 이지만, 평균 전력은 줄었음을 확인할 수 있었다. 또한 실험 2과 실험 3의 차이는 저항의 차이이다. 비슷하게 공명 진동수에는 변화가 없되 평균 전력은 작아질 것으로 예측하였고, 이번에는 예상대로 되었음을 확인할 수 있었다. (공명 진동수의 측정값은 다르지만 그래프의 윗부분이 상당히 Rough하기 때문에 측정 진동수 범위를 좁히면 비슷할 것으로 생각된다.) 그래프의 폭 FWHM도 다소 오차는 있지만 경향성은 예상대로 나타났는데, 약 3배 가까이 L이 늘어나면서 폭은 3배 가까이 줄어들었고, R이 3배 가까이 늘어나면서 폭도 3배 가까이 늘어났다.

 실험 1과 실험 2를 비교했을 때 최대 전력값이 예측대로 나타나지 않은 것은 단순히, 필요한 진동수의 폭이 더 좁아져서 최대 전력량은 같지만 그래프 상에서 나타나지 않은 것일 수도 있다. 혹은, 이 실험에서 저항에 전달되는 전력을 계산할 때 단순히 옴의 법칙을 이용해서

Pavg=I2rmsR=(∆VR)22R

로 계산했기에 오차가 커졌을 수도 있다. (회로 전체에 존재하는 약간의 저항과 인덕턴스가 있으므로) 엄밀히 Pavg=Irms∆VR 로 계산해서 더 정확한 결과를 얻을 수도 있다. 이를 위해서 Irms 를 VrmsZ 로 계산하는 방식도 생각할 수 있다.

IV. 결론

 앞선 이론에서 RLC회로를 분석해 어째서 공명 진동수가 존재하는가를 알아보았고, 실제로 그 존재를 실험들을 통해 확인했다. 공명 진동수는 회로의 유도 계수와 전기 용량으로 결정되었으며, 그렇게 되었다는 것을 실험 1과 실험 2를 비교함으로써 알아낼 수 있었다. 또한 그래프의 폭의 넓이를 비교해서 저항을 낮추고 인덕턴스를 높게하여 조절해 알맞은 진동수의 전기 신호를 증폭시키는데 쓰일 수 있다는 것을 알아낼 수 있었다. 회로에 전달되는 전력을 실험 2와 실험 3을 비교해서 비교하기도 했고, 최대 전력값이 저항에 대해서 줄어드는 등의 일반적인 모습을 관찰 할 수도 있었다.
 다만 그래프의 모양이 이론적인 것과는 상당히 다른데, 대칭이 아니라 오른쪽이 분명 폭이 더 넓다는 것을 볼 수 있었다. 이런 그래프가 나타나는 이유를 알아내기 위해서 추가적인 실험을 해도 좋을 것이라는 결론을 내렸다.

V. 참고문헌

[1] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 760-762, 786-793

[2] 리액턴스 용어설명사전, http://www.ktword.co.kr/test/view/view.php?m_temp1=2442 (accessed in 2021-11-17, 02:06)

[3] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, pp. 350-352

[4] Bandwidth of RLC Circuit: https://www.eeeguide.com/bandwidth-of-rlc-circuit/ (accessed in 2021-11-17, 02:33)

[5] 전력, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%84%EB%A0%A5 (accessed in 2021-11-17, 02:31)

[6] 그림 출처: https://m.blog.naver.com/twonkang00/221682573004