대학물리실험 - 파동의 중첩(Oscilloscope)

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I. 실험 이론

 1. 맥놀이(시간적 간섭)

 맥놀이 현상은 파동의 간섭의 한 유형으로, 같은 방향으로 진행하는 진폭이 같고 진동수가 조금 다른 파동 사이에서 일어나는 간섭이다. 이 두 파동을 어느 한 점에서 관측하면 시간에 따라 보강 간섭과 상쇄 간섭이 교대로 나타나며 진폭이 늘어났다 줄어드는 것을 반복한다는 사실을 알 수 있다. 이를 “맥놀이”라고 한다. 맥놀이를 물리학적으로 분석하면 다음과 같다.

 진동수가 f1 과 f2 로 약간 다른 두 파동이 같은 방향으로 진행할 때 각각의 파동의 변위를 :

y1=Acos2πf1t            y2=Acos2πf2t

로 표현하자. 중첩의 원리를 이용하면 합성파는 단순히 두 파장을 선형적으로 더한 값으로 계산할 수 있다. 따라서 합성파의 변위를 cosA+cos B=cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2) 의 공식을 이용해서 더하면

y=2Acos2π f1-f22 tcos2π f1+f22 t (f1>f2)

과 같다. 여기서 두개의 코사인 함수가 곱해져 있는 것에 주목하자. 왼쪽에 있는 cos 은 더 작은 진동수, 다시 말해 더 큰 주기를 가지고 있다. 오른쪽 cos 을 무시한다면 이 파동은 단순한 cos 파로 나타날 것이다. 이 cos 파의 주기의 절반을 “맥놀이 주기”라고 한다. 소리가 작아졌다 커지는 것은 진폭의 변화 때문인데, a를 진폭이라고 할 때,

a=2Acos2π f1-f22 t

를 진폭으로 해석할 수 있다. 즉, 맥놀이를 구성하는 것은 왼쪽의 cos 이다. 오른쪽 cos 은 왼쪽에 비해 작은 주기를 가지고 있다. 오른쪽 cos 은 큰 cos 함수 내에서의 다른 진동을 담당하며, 이 함수의 주기가 합성파의 주기이다.

<그림 1, 두 파동의 시간에 따른 합성>, 출처 : 참고문헌 [1]

 

 

 1-1. 용어 추가 정리
여기서 우리는 두 가지 진동수를 볼 수 있다. f1-f2/2,  (f1+f2)/2  가 있는데, 각각 포락선의 진동수와 합성파의 진동수이다. 또한 맥놀이 주기는 포락선의 절반의 주기를 가진다. (인간의 귀에 들리는 1번의 맥놀이의 주기는 포락선 주기의 절반이다.)

 2. 리사주 도형

 리자주 도형은 매개 변수식

x=Asinat + δ y=Bsinbt

로 나타나는 모든 곡선(혹은 도형)을 의미한다. 이 도형은 두 파동의 진동수의 비, ab  에 상당히 민감하다. 이 비가 1일 경우 곡선은 일반적으로 타원으로 나타나며, 원으로 나타내는 경우도 있다. 다른 간단한 리사주 도형은 포물선으로, ab=1/2, δ= π4  일 때 볼 수 있다.

 2-1. 추가 분석
 첫번째 리사주 도형은 위에서 살펴본 비가 1인 경우에 해당하므로 예측하기 어렵지 않다. 하지만 두번째의 경우에는 더 까다롭다. 쉬운 분석을 위해서 각각의 식을 변형해보자.

CH1=x=sin2t+90° CH2=y=sin⁡(t)

여기서 t+45°=k 으로 치환해보자.

CH1=x=sin2k CH2=y=sin⁡(k-45°)

여기서 y축을 기준으로 리사주 도형을 분석하면 정확히 위에서 말한 ab=1/2, δ= π4  인 리사주 도형임을 알 수 있다. (45˚의 위상”차”가 중요하므로 모양만 따질 때 부호는 별로 중요하지 않다.) 따라서 위의 도형이 포물선임을 예측할 수 있다. [2]

 3. 오실로스코프 및 함수 발생기

 현대에서는 주로 오실로스코프를 이용하거나 컴퓨터를 이용해서 리사주 도형을 그린다. 여기서는 오실로스코프의 X-Y Mode를 이용하면 x축과 y축에 각각 다른 함수(여기서는 함수발생기로 인한 전위차)를 넣고 그 결과를 화면을 통해서 관찰할 수 있다. 이는 리사주 도형의 정의인 “두 사인파형의 매개변수식을 만족하는 도형”에 부합한다. 실시간으로 다양한 조작을 해보고, 실험을 위해서 관측이 필요할 때는 Stop을 눌러서 측정을 시작하도록 한다.

 4. 주의 사항

포락선의 진동수를 기록할 때, 변위가 0인 곳에서 각각 측정하는 것이 직관적이고 제일 정확하다. 다만 화면의 크기 문제 등으로 그렇게 할 수 없게 된 경우, 파형이 같은 부분을 찾아서 주기를 재는 눈대중을 이용할 수 있다. 다만 정확하지 않기 때문에, 자주 이런 문제가 발생할 경우 실험하는 진동수를 알맞게 조절한다. (다만 맥놀이 진동수가 합성파의 진동수의 배수일 경우 그렇게 해도 무관하다.) [3]

II. 실험 결과

(1) 합성파의 그림
 <Redacted>

(2) 리사주 도형

(1) 1:1, 45도 위상차                                          (2) 2:1 90도 위상차
CH1 = x = sin(t + 45˚)                                       CH1 = x = sin(2t + 90˚)
CH2 = y = sin t                                                CH2 = y = sin(t + 45˚)

III. 토의

1. 예상되는 실제 실험 시의 오차 발생 요인
 (1) 오실로스코프, 선 2개, 파동 발생기가 준비물의 전부인 만큼 물리적인 오차 요인은 얼마 없을 것으로 생각된다. 그만큼 오실로스코프와 파동 발생기의 이용법이 복잡해서 실험 과정상의 실수가 날 수 있다. 잘 숙지하고 실험 방법에 따라야한다.

2. 결과 분석
 앞서 같은 방향으로 진행하는 진폭이 같고 진동수가 조금 다른 두 파동의 간섭에 대한 이론을 살펴 보았다. 실험 1에서는 그 중 맥놀이 진동수, 합성파의 진동수에 대해 분석한 것이 맞았다는 결론을 내릴 수 있었다. 상대오차를 보면 알 수 있듯이 거의 예상대로 결과가 나왔다. 오히려 실험 도구가 단순해서 오차가 생길 일이 거의 없을 것이라 예상했지만 오차가 존재한다는 것 자체가 의외라고 할 수 있다. 이론에 따르면 원래의 파동 2개의 진동수의 차이가 맥놀이 진동수가 되는데, 그 주기를 이용해서 측정해도 비슷한 결과가 나왔다. 주기를 측정하는 방법이 정확하지 않다는 것을 고려하면 오차가 없다고 보아도 무방하다.

 실험 2에서 위상차와 진동수 차이에 따라 리사주 도형 모양을 분석한 이론이 맞았다는 결론을 내릴 수 있다. 실험 1과는 다르게 두 파동을 선형적으로 더하지 않고, 각각의 차원으로 나타내었을 때 나오는 도형을 오실로스코프로 관찰했다. 기하학적인 모양을 함수 2개, 차원 2개만을 이용해 나타낼 수 있다는 것을 깨닫게 되었다는 것에 의의가 있는 실험이었다. 실험 이론에서 두번째 도형에 대해 추가적인 분석한 결과와 실험 결과는 일치했는데, 닫힌 도형으로 그려지지 않았다는 점이 제일 특이한 점인 것 같다.

IV. 결론

 맥놀이 현상과 리사주 도형은 2개의 파동을 합쳐서 나타낸다는 것에 공통점이 있다. 그래서   차이점을 알아보고자 오실로스코프와 함수 발생기를 이용해서 각각 다른 2개의 실험을 준비했다. 실험 1에서는 진동수가 조금 다른 두 파동의 간섭, 맥놀이에 대한 이론, 실험 2에서는 리사주 도형에 대해서 분석한 이론이 맞음을 각각 확인할 수 있었다.

V. 참고문헌

[1] Raymond A. Serway, John W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th edition, 북스힐, Seoul, 2021, pp. 429-431

[2] Lissajous Curve https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve (accessed in 2021-10-11 7:55)

[3] 김병배 외 5명, 대학물리실험, 2nd Ed, 북스힐, Seoul, 2020, p. 422