대학수학 - 수열 관련 노트

단조수렴정리에 대한 증명

1. 수열 $\left\{a_n\right\}$이 증가하고 위로 유계이면 수열 $\left\{a_n\right\}$은 수렴한다.

 

 위로 유계인 수열 $\left\{a_n\right\}$에 대해서 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n \le M$을 만족하는 최소의 $M$을 $M_0$라고 하자. (상계)

 임의의 $\epsilon > 0$를 선택해서 $a_n \le M_0 - \epsilon$을 모든 자연수 $n$에 대해서 만족한다고 한다면 앞서 이야기한 "$a_n \le M$을 만족하는 최소의 $M$을 $M_0$라고 한다"라고 한 것에 모순 된다. 따라서, $M_0 - \epsilon \le a_n \le M_0$를 만족하는 적당한 자연수 $N$이 존재한다.

 

 여기서 $|a_n - M_0| = M_0 - a_n$ 이고 $n > N$에 대해서  $M_0 - a_n < \epsilon$이 언제나 성립하므로 수렴의 정의에 따라서 $\lim_{n \to \infty}a_n = M_0$로 수렴한다.

 

-수열의 극한 문제를 풀 수 있는 도구들

1. 수열의 정의

2. 수열 to 함수의 극한 정리, $a_n = f(n)$인 함수의 극한을 그대로 수열의 극한에 적용할 수 있음.

2-1. 그에 따라서, 로피탈 정리를 쓸수 있다. 복습을 위해서 이야기 하지만 $x \to \infty$인 경우는 로피탈 무제한 적용가능, 아닌 경우에만 0/0꼴, 무한대/무한대꼴로 나와야 적용가능하다. $n \to \infty$이 난무하는 현재는 로피탈을 맘껏 적용할 수 있다.

3. 위에 적어놓은 단조수렴정리.

 

-급수 문제를 풀 때 주의 할 것

1. 상수항을 앞에서 곱하는 것이 가능한 것은 부분합이지 무한합은 아니다. "수렴한다"라는 보장이 없다면 상수항을 맘대로 곱할 수 없다.

 

-급수 문제를 풀 수 있는 도구들.

1. 부분합의 극한을 쉽게 나타낼 수 있을 때 수열의 극한을 이용한 풀이를 할 수 있다.(부분분수, 값 구하기 가능)

2. 수열이 절대수렴한다.(절댓값을 씌운 수열이 수렴한다면 조건부 수렴하므로 수렴한다.)

3. 비판정법 / 근비판정법

 

-양항 급수의 판별 문제를 풀 수 있는 도구들

1. 단조 수렴 정리.
양항급수에서 급수 $S_n$이 단조 증가하므로 위로 유계라고 증명할 수 있다면 수렴한다고 할 수 있다. 상계를 찾을 수 있다면 단순히 수렴 / 발산만 판별할 수 있는게 아니라 수렴값도 알아 낼 수 있다는 점.

하나 더, 양항급수가 수렴한다면, 위로 유계이다. 필요충분조건

2. 적분 정리.
수열 to 함수의 극한 정리처럼, 수열을 함수로 바꾸고 그 이상적분 $[1, \infty)$을 이용해서 수렴과 발산을 판정 할 수 있다. 단, 수렴값은 알아낼 수 없다. (위의 수열 to 함수 극한이랑은 좀 다름)

3. p급수 판정법.

$p > 1$일때 $\frac{1}{p - 1}$로 수렴, 아님 발산!

3. 비교판정법

급수가 주로 유리항/다항식으로 나타낼 수 있을 경우에 유용함.

4. 극한비교판정법

원하는 수열을 만들어서 그 극한값으로 비교함.

 

-교대 급수의 판별 문제를 풀 수 있는 도구들

1. 교대 급수 판정법

절댓값을 씌운 수열이 단조감수열이고, lim가 0으로 가기만 해도 이 녀석들은 수렴한다. (수렴값은 모름)

 

-무한등비급수

는 그냥 계산할 것!

 

-거듭제곱급수

$(x - c)$에서의 거듭제곱급수는 c에서 무조건 정의(수렴)한다. 그래서 실제로 c에서 수렴안하는 함수랑 Taylor 급수로 같이 정의할 수가 없다. 알아두시길! (수렴집합 전체를 포함한다)