대학물리 - 수리물리학 1차 선형 미분 방정식 간단한거 풀기

 저번에는 삼각치환으로 날 괴롭히더니 이번에는 미분 방정식을 갖다가 풀 일이 많아져서, 다시 복습 차원에서 이 글을 적는다.

 내가 정리할 미분 방정식의 해는 정말 간단한것 중에 하나로, 이렇게 정리되는 식을 말한다.

 

$$ \frac{dv}{dt} + c_1v = c_2 $$

 

여기서 $c_1$과 $c_2$는 둘 다 상수이다. 원래 상수가 아니라 $t$에 관한 식이라도 괜찮지만(두 상수 모두), 여기서는 단순화해서 본다. 일단 모든 변에 $ e^{c_1t} $를 곱해보자.

 

$$ e^{c_1t} \frac{dv}{dt} + c_1 e^{c_1t} v = c_2 e^{c_1t} $$

 

이제 좌변을 곱의 미분법을 이용해서 묶으면

 

$$ \frac{d}{dt}(e^{c_1t} v) = c_2 e^{c_1t} $$

 

하고 부정적분 까지 해서 묶으면 이렇게 된다.

 

$$ v = \frac{c_2}{c_1} + C e^{-c_1t}  $$

 

여기서 보통 $v$, $t$에 이미 아는 수를 대입해서 식을 완성하면 끝! 자기장 파트로 오니까(전에도 그랬지만) 자주 쓰이는 수학들이 있으니 이 정도는 알아 두도록 하자!