대학물리 - 1장 연습문제 풀어보기 3,8,15

본 포스팅은 : 대학물리학I Raymond A. Serway, John W. Jewett 원저 / 레이먼드 10판 에서 문제를 발췌하였음을 알립니다.

3번 : 어떤 균일한 암석으로 부터 두 개의 구를 만든다. 첫 번째 구의 반지름은 $4.50\mathrm{cm}$이고, 두 번째 구의 질량은 첫 번째보다 다섯 배 더 크다고 할 때, 두 번째 구의 반지름을 구하라.

내 풀이 :

 

 구의 부피 V, 구의 반지름 r, 구의 지름 m, 구의 밀도 $\rho$에 대해서, 다음과 같은 수식이 성립한다.

$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3, \rho \equiv \frac{m}{V} $$

두 구의 밀도는 같으므로,

$$ \rho = \frac{m}{ \frac{4}{3} \pi ( 4.50 \mathrm{cm} )^3 } = \frac{5m}{ \frac{4}{3} \pi r^3 } $$

가 성립한다. 따라서 두 번째 구의 반지름은

$$ r = \sqrt[3]{ 5 \times ( 4.50 \mathrm{cm} )^3 } = 7.69 \mathrm{cm} $$

 

교재 풀이(번역):

 

 양 구의 부피에 대해서 $ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $이고, 질량은 $ m = \rho V = \rho\frac{4}{3} \pi r^3 $이다. 이 방정식을 큰 구에 대해서 작은 구로 나누면,

$$ \frac{m_l}{m_s} = \frac{ \rho (4/3) \pi r_l^3 }{ \rho (4/3) \pi r_s^3 } = \frac{r_l^3}{r_s^3} = 5 $$

그렇다면, $ r_l = r_s \sqrt[3]{5} = ( 4.50 \mathrm{cm} ) \sqrt[3]{5} = 7.69 \mathrm{cm} $

8번 : 등가속도 운동하는 입자의 위치는 가속도와 시간의 함수이다. 이 위치가 $ x = ka^mt^n $으로 표현된다고 하자. 여기서 $k$는 차원이 없는 상수이다. 차원 분석법을 이용해서 $ m = 1, n = 2 $일 때 이 식이 타당하다는 것을 보이라. 차원 분석법으로 $k$를 결정할 수 있는가?

 $a$의 차원은 $ \frac{L}{T^2} $이고, $t$의 차원은 $T$이다. 최종적으로 나와야하는 차원은 위치에 해당하는 $L$이므로,

$$ L = \left( \frac{L}{T^2} \right)^n T^m $$

이다. 양변의 두 차원이 같아야하므로 $ L^{n-1} T ^{m-2n} = 0 $이므로 $ n = 1, m = 2 $이다.

또한, 차원분석법으로는 $k$의 값을 결정할 수 없다. $k$가 어느 값을 가지더라도 위의 식에는 변화가 없고, $ n = 1, m = 2 $이라면 $k$가 어느 값이든 항상 성립한다.

 

15번 : 페인트 1갤런(부피 : $ 3.78 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 $)으로 $25.0\mathrm{m}^2$의 넓이를 고르게 칠한다. 칠한 직후에 페인트의 두께는 얼마인가?

 페인트의 두께를 $T$라고 하면, $ 25.0\mathrm{m}^2 \times T = 3.78 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 $ 가 성립한다. 따라서

$$ T = \frac{ 3.78 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 }{ 25.0\mathrm{m}^2 } = 0.000151 \mathrm{m} = 151 \mu \mathrm{m} $$