본 블로그 포스팅은 : 대학수학 College Mathemathics 3판 김남현 외 4명 공저 에서 일부 문제와 개념을 인용했음을 알립니다. 아래 정보 및 게시물 내용의 불법적 이용, 무단 전재·배포는 금지되어 있습니다.
>삼각 / 쌍곡선 함수 24종 정리표
함수 | 도함수 | 정의역/치역 | 함수 | 도함수 | 정의역/치역 |
sinx | cosx | D:x∈R R:−1≤x≤1 |
sinhx | coshx | D:x∈R R:x∈R |
cosx | −sinx | D:x∈R R:−1≤x≤1 |
coshx | sinhx | D:x∈R R:x≥1 |
tanx | sec2x | D:x≠nπ+π2 R:x∈R |
tanhx | sech2x | D:x∈R R:|x|≤1 |
secx | secxtanx | D:x≠nπ+π2 R:|x|≥1 |
sechx | −sechxtanhx | D:x∈R R:0<x≤1 |
cscx | −cscxcotx | D:x≠nπ R:|x|≥1 |
cschx | −cschxcothx | D:x≠0 R:x≠0 |
cotx | −csc2x | D:x≠nπ R:x∈R |
cothx | −csch2x | D:x≠0 R:|x|≥1 |
sin−1x | 1√1−x2 | D:|x|≤1 R:|x|≤π2 |
sinh−1x | 1√1+x2 | D:x∈R R:x∈R |
cos−1x | −1√1−x2 | D:|x|≤1 R:0≤x≤π |
cosh−1x | 1√x2−1 x≥1 |
D:x≥1 R:x≥0 |
tan−1x | 1x2+1 | D:x∈R R:|x|<π2 |
tanh−1x | 11−x2 |x|≤1 |
D:|x|≤1 R:x∈R |
sec−1x | 1|x|√x2−1 | D:|x|≥1 R:0≤x≤π,x≠π2 |
sech−1x | −1x√1−x2 0≤x≤1 |
D:0<x≤1 R:x≥0 |
csc−1x | −1|x|√x2−1 | D:|x|≥1 R:|x|≤π2,x≠0 |
csch−1x | −1|x|√1+x2 x≠0 |
D:x≠0 R:x≠0 |
cot−1x | −1x2+1 | D:x∈R R:0<x<π |
coth−1x | 11−x2 |x|≥1 |
D:|x|≥1 R:x≠0 |
n은 임의의 정수
5.7 역삼각함수
다음을 계산하라 :
01. tan−1(−1√3)
tan−1(−1√3)=y로 놓으면, tany=−1√3
여기에서 tan−1x의 치역 (−π2,π2) 에 해당하는 y 값은, y=−π3
10. sin(tan−1√x2−2x),x≥2
tan−1√x2−2x=y라고 놓으면, sin(tan−1√x2−2x)=siny,tany=√x2−2x
여기서 직각삼각형을 이용해서 보면,

로, 빗변의 길이는 √(√x2−2x)2+12=|x−1|이나, x≥2이므로, x−1로 놓을 수 있다.
∴
5.8 역삼각함수의 미적분
역삼각함수의 미분 공식 :
(\sin^{-1}x)' = 1 / \sqrt{1 - x^2}, (\cos^{-1}x)\prime = -1 / \sqrt{1 - x^2}
(\tan^{-1}x)' = 1 / 1 + x^2, (\cot^{-1}x)\prime = - 1 / 1 + x^2
(\sec^{-1}x)' = 1 / |x|\sqrt{x^2 - 1}, (\csc^{-1}x)\prime = -1 / |x|\sqrt{x^2 - 1}
이렇게 되는데는 좌 / 우가 부호 하나 차이만을 가지는 것은 다 이유가 있다.
\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \pi / 2, -1 \le x \le 1
\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \pi / 2, x \in \mathbb{R}
\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \pi / 2, |x| \ge 1
전부 각 함수의 -1배의 상수배 차이가 나는 함수들이기 때문이다. 위의 공식도 잘 알아두자.
삼각함수에서 쓸 수 있었던 공식도 몇 개 비슷하게 쓸 수 있다.
원래 모양인 \alpha + \beta로도 이용 가능한지는 모르겠다. 우선, \alpha = \beta인 것을 우선적으로 살펴 보면,
\sinh2x = 2 \sinh x \cosh x, \cosh2x = \cosh^2x + \sinh^2x
\sinh^2x = \frac{\cosh2x-1}{2}, \cosh^2x = \frac{\cosh2x - 1}{2}
\cosh^2x - \sinh^2x = 1, \tanh^2x + \sec h^2x = 1, \coth^2x - \csc h^2x = 1
다음을 적분하라 :
12 \int \frac{dx}{17 + x^2}
x / \sqrt{17} = t 로 놓으면, \frac{1}{\sqrt{17}}dx = dt, dx = \sqrt{17}dt
\int \frac{dx}{17 + x^2} = \int \frac{\frac{1}{17}}{1 + \frac{x^2}{17}}dx = \frac{1}{\sqrt{17}} \int \frac{1}{1 + t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1}t = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{17}}
5.9 쌍곡선함수 / 역쌍곡선함수의 미적분
22. x > 1일 때, \cosh^{-1}x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1})임을 보이고 이를 이용해서 (\sinh^{-1}x)' = 1 / \sqrt{x^2 - 1}임을 보여라.
y = \cosh^{-1}x 라고 하면, x = \cosh y 라고 할 수 있다. 여기서 쌍곡선함수의 정의를 이용하면,
e^y + e^{-y} = 2x이다. 양변에 e^y를 곱하고 좌변으로 정리하면, e^{2y} - 2xe^y + 1 = 0 으로, e^y에 대한 이차방정식이 된다. 근의 공식을 이용하면, e^y = x \pm \sqrt{x^2 - 1} 다만, e^y > 1이므로,
e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}, y = \ln( x + \sqrt{x^2 - 1} )
임을 알 수 있다. <이후 미분 과정은 생략>
'대학교과 > etc과목' 카테고리의 다른 글
[건축용어 정리] - 예술과 건축 (0) | 2021.06.06 |
---|---|
[선사시대] 메소포타미아 - 예술과 건축 - 강의록 1 (0) | 2021.06.06 |
대학수학 - 선형화와 뉴턴의 방법 (0) | 2021.04.23 |
예술과 건축 - 영화 <About Time>과 건축물에 대해서. (0) | 2021.04.21 |
대학물리 - 1장 연습문제 풀어보기 3,8,15 (0) | 2021.04.05 |