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대학수학 - 역삼각함수와 쌍곡선함수

by 리나그(ReenAG) 2021. 4. 22.
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본 블로그 포스팅은 : 대학수학 College Mathemathics 3판 김남현 외 4명 공저 에서 일부 문제와 개념을 인용했음을 알립니다. 아래 정보 및 게시물 내용의 불법적 이용, 무단 전재·배포는 금지되어 있습니다.

>삼각 / 쌍곡선 함수 24종 정리표

함수 도함수 정의역/치역 함수 도함수 정의역/치역
sinx cosx D:xR
R:1x1
sinhx coshx D:xR
R:xR
cosx sinx D:xR
R:1x1
coshx sinhx D:xR
R:x1
tanx sec2x D:xnπ+π2
R:xR
tanhx sech2x D:xR
R:|x|1
secx secxtanx D:xnπ+π2
R:|x|1
sechx sechxtanhx D:xR
R:0<x1
cscx cscxcotx D:xnπ
R:|x|1
cschx cschxcothx D:x0
R:x0
cotx csc2x D:xnπ
R:xR
cothx csch2x D:x0
R:|x|1
sin1x 11x2 D:|x|1
R:|x|π2
sinh1x 11+x2 D:xR
R:xR
cos1x 11x2 D:|x|1
R:0xπ
cosh1x 1x21
x1
D:x1
R:x0
tan1x 1x2+1 D:xR
R:|x|<π2
tanh1x 11x2
|x|1
D:|x|1
R:xR
sec1x 1|x|x21 D:|x|1
R:0xπ,xπ2
sech1x 1x1x2
0x1
D:0<x1
R:x0
csc1x 1|x|x21 D:|x|1
R:|x|π2,x0
csch1x 1|x|1+x2
x0
D:x0
R:x0
cot1x 1x2+1 D:xR
R:0<x<π
coth1x 11x2
|x|1
D:|x|1
R:x0

n은 임의의 정수

5.7 역삼각함수

다음을 계산하라 :

01. tan1(13)

tan1(13)=y로 놓으면, tany=13

여기에서 tan1x의 치역 (π2,π2) 에 해당하는 y 값은, y=π3

 

10. sin(tan1x22x),x2

tan1x22x=y라고 놓으면, sin(tan1x22x)=siny,tany=x22x

여기서 직각삼각형을 이용해서 보면,

 

 

로, 빗변의 길이는 (x22x)2+12=|x1|이나, x2이므로, x1로 놓을 수 있다.

5.8 역삼각함수의 미적분

역삼각함수의 미분 공식 :

 

(\sin^{-1}x)' = 1 / \sqrt{1 - x^2}, (\cos^{-1}x)\prime = -1 / \sqrt{1 - x^2}

(\tan^{-1}x)' = 1 / 1 + x^2, (\cot^{-1}x)\prime = - 1 / 1 + x^2

(\sec^{-1}x)' = 1 / |x|\sqrt{x^2 - 1}, (\csc^{-1}x)\prime = -1 / |x|\sqrt{x^2 - 1}

이렇게 되는데는 좌 / 우가 부호 하나 차이만을 가지는 것은 다 이유가 있다.

 

\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \pi / 2, -1 \le x \le 1

\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \pi / 2, x \in \mathbb{R}

\sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \pi / 2, |x| \ge 1

전부 각 함수의 -1배의 상수배 차이가 나는 함수들이기 때문이다. 위의 공식도 잘 알아두자.

 

삼각함수에서 쓸 수 있었던 공식도 몇 개 비슷하게 쓸 수 있다.

원래 모양인 \alpha + \beta로도 이용 가능한지는 모르겠다. 우선, \alpha = \beta인 것을 우선적으로 살펴 보면,

 

\sinh2x = 2 \sinh x \cosh x, \cosh2x = \cosh^2x + \sinh^2x

\sinh^2x = \frac{\cosh2x-1}{2}, \cosh^2x = \frac{\cosh2x - 1}{2}

\cosh^2x - \sinh^2x = 1, \tanh^2x + \sec h^2x = 1, \coth^2x - \csc h^2x = 1

 

다음을 적분하라 :

12 \int \frac{dx}{17 + x^2}

x / \sqrt{17} = t 로 놓으면, \frac{1}{\sqrt{17}}dx = dt, dx = \sqrt{17}dt

\int \frac{dx}{17 + x^2} = \int \frac{\frac{1}{17}}{1 + \frac{x^2}{17}}dx = \frac{1}{\sqrt{17}} \int \frac{1}{1 + t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1}t = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{17}}

 

5.9 쌍곡선함수 / 역쌍곡선함수의 미적분

22. x > 1일 때, \cosh^{-1}x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1})임을 보이고 이를 이용해서 (\sinh^{-1}x)' = 1 / \sqrt{x^2 - 1}임을 보여라.

 

y = \cosh^{-1}x 라고 하면, x = \cosh y 라고 할 수 있다. 여기서 쌍곡선함수의 정의를 이용하면,

e^y + e^{-y} = 2x이다. 양변에 e^y를 곱하고 좌변으로 정리하면, e^{2y} - 2xe^y + 1 = 0 으로, e^y에 대한 이차방정식이 된다. 근의 공식을 이용하면, e^y = x \pm \sqrt{x^2 - 1} 다만, e^y > 1이므로, 

e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}, y = \ln( x + \sqrt{x^2 - 1} )

임을 알 수 있다. <이후 미분 과정은 생략>

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