대학수학 - 역삼각함수와 쌍곡선함수

본 블로그 포스팅은 : 대학수학 College Mathemathics 3판 김남현 외 4명 공저 에서 일부 문제와 개념을 인용했음을 알립니다. 아래 정보 및 게시물 내용의 불법적 이용, 무단 전재·배포는 금지되어 있습니다.

>삼각 / 쌍곡선 함수 24종 정리표

함수	도함수	정의역/치역	함수	도함수	정의역/치역
$\sin x$	$\cos x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : -1 \le x \le 1$	$\sinh x$	$\cosh x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : x \in \mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : -1 \le x \le 1$	$\cosh x$	$\sinh x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : x \ge 1$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$D : x \neq n\pi + \frac{\pi}{2}$ $R : x \in \mathbb{R}$	$\tanh x$	$\sec h^2 x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : |x| \le 1$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$D : x \neq n\pi + \frac{\pi}{2}$ $R : |x| \ge 1$	$\sec h x$	$-\sec h x\tanh x$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : 0 < x \le 1$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$D : x \neq n\pi$ $R : |x| \ge 1$	$\csc h x$	$-\csc h x\coth x$	$D : x \neq 0$ $R : x \neq 0$
$\cot x$	$-\csc^2 x$	$D : x \neq n\pi$ $R : x \in \mathbb{R}$	$\coth x$	$-\csc h^2 x$	$D : x \neq 0$ $R : |x| \ge 1$
$\sin^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ \sqrt{1-x^2} }$	$D : |x| \le 1$ $R : |x| \le \frac{\pi}{2}$	$\sinh^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ \sqrt{1 + x^2} }$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : x \in \mathbb{R}$
$\cos^{-1} x$	$\frac{ -1 }{ \sqrt{1-x^2} }$	$D : |x| \le 1$ $R : 0 \le x \le \pi$	$\cosh^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ \sqrt{x^2 - 1} }$ $x \ge 1$	$D : x \ge 1$ $R : x \ge 0$
$\tan^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ x^2 + 1 }$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : |x| < \frac{\pi}{2}$	$\tanh^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ 1 - x^2 }$ $|x| \le 1$	$D : |x| \le 1$ $R : x \in \mathbb{R}$
$\sec^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ |x|\sqrt{x^2-1} }$	$D : |x| \ge 1$ $R : 0 \le x \le \pi, x \neq \frac{\pi}{2}$	$\sec h^{-1} x$	$\frac{ -1 }{ x\sqrt{1 - x^2} }$ $0\le x \le 1$	$D : 0 < x \le 1$ $R : x \ge 0$
$\csc^{-1} x$	$\frac{ -1 }{ |x|\sqrt{x^2-1} }$	$D : |x| \ge 1$ $R : |x| \le \frac{\pi}{2}, x \neq 0$	$\csc h^{-1} x$	$\frac{ -1 }{ |x|\sqrt{1 + x^2}}$ $x \neq 0$	$D : x \neq 0$ $R : x \neq 0$
$\cot^{-1} x$	$\frac{ -1 }{ x^2 + 1 }$	$D : x \in \mathbb{R}$ $R : 0 < x < \pi$	$\coth^{-1} x$	$\frac{ 1 }{ 1 - x^2 }$ $|x| \ge 1$	$D : |x| \ge 1$ $R : x \neq 0$

$n$은 임의의 정수

5.7 역삼각함수

다음을 계산하라 :

01. $ \tan^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) $

$ \tan^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{3}} \right) = y $로 놓으면, $ \tan y = \frac{-1}{\sqrt{3}} $

여기에서 $ \tan^{-1}x $의 치역 $ \left( -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) $ 에 해당하는 y 값은, $ y = -\frac{\pi}{3} $

 

10. $ \sin{ ( \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 2x} ) }, x \ge 2 $

$ \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 2x} = y $라고 놓으면, $ \sin{ ( \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 2x} ) } = \sin y, \tan y = \sqrt{x^2 - 2x} $

여기서 직각삼각형을 이용해서 보면,

 

 

로, 빗변의 길이는 $ \sqrt{(\sqrt{x^2 - 2x})^2 + 1^2} = |x-1| $이나, $ x \ge 2 $이므로, $ x-1 $로 놓을 수 있다.

$$ \therefore \sin y = \sin{ ( \tan^{-1} \sqrt{x^2 - 2x} ) } = \sqrt{x^2 - 2x} / x-1  $$

5.8 역삼각함수의 미적분

역삼각함수의 미분 공식 :

 

$$ (\sin^{-1}x)' = 1 / \sqrt{1 - x^2}, (\cos^{-1}x)\prime = -1 / \sqrt{1 - x^2} $$

$$ (\tan^{-1}x)' = 1 / 1 + x^2, (\cot^{-1}x)\prime = - 1 / 1 + x^2 $$

$$ (\sec^{-1}x)' = 1 / |x|\sqrt{x^2 - 1}, (\csc^{-1}x)\prime = -1 / |x|\sqrt{x^2 - 1} $$

이렇게 되는데는 좌 / 우가 부호 하나 차이만을 가지는 것은 다 이유가 있다.

 

$$ \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \pi / 2, -1 \le x \le 1 $$

$$ \tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \pi / 2, x \in \mathbb{R} $$

$$ \sec^{-1}x + \csc^{-1}x = \pi / 2, |x| \ge 1 $$

전부 각 함수의 -1배의 상수배 차이가 나는 함수들이기 때문이다. 위의 공식도 잘 알아두자.

 

삼각함수에서 쓸 수 있었던 공식도 몇 개 비슷하게 쓸 수 있다.

원래 모양인 $\alpha + \beta$로도 이용 가능한지는 모르겠다. 우선, $\alpha = \beta$인 것을 우선적으로 살펴 보면,

 

$$ \sinh2x = 2 \sinh x \cosh x, \cosh2x = \cosh^2x + \sinh^2x $$

$$ \sinh^2x = \frac{\cosh2x-1}{2}, \cosh^2x = \frac{\cosh2x - 1}{2} $$

$$ \cosh^2x - \sinh^2x = 1, \tanh^2x + \sec h^2x = 1, \coth^2x - \csc h^2x = 1 $$

 

다음을 적분하라 :

12 $ \int \frac{dx}{17 + x^2} $

$x / \sqrt{17} = t $로 놓으면, $ \frac{1}{\sqrt{17}}dx = dt, dx = \sqrt{17}dt $

$$ \int \frac{dx}{17 + x^2} = \int \frac{\frac{1}{17}}{1 + \frac{x^2}{17}}dx = \frac{1}{\sqrt{17}} \int \frac{1}{1 + t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1}t = \frac{1}{\sqrt{17}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{17}} $$

 

5.9 쌍곡선함수 / 역쌍곡선함수의 미적분

22. $x > 1$일 때, $\cosh^{-1}x = \ln (x + \sqrt{x^2 - 1})$임을 보이고 이를 이용해서 $(\sinh^{-1}x)' = 1 / \sqrt{x^2 - 1}$임을 보여라.

 

$ y = \cosh^{-1}x $라고 하면, $ x = \cosh y $라고 할 수 있다. 여기서 쌍곡선함수의 정의를 이용하면,

$ e^y + e^{-y} = 2x$이다. 양변에 $e^y$를 곱하고 좌변으로 정리하면, $ e^{2y} - 2xe^y + 1 = 0 $으로, $e^y$에 대한 이차방정식이 된다. 근의 공식을 이용하면, $e^y = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ 다만, $e^y > 1$이므로, 

$$e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}, y = \ln( x + \sqrt{x^2 - 1} )$$

임을 알 수 있다. <이후 미분 과정은 생략>